Давайте в порядке закрепления материала попробуем пощупать коды Хемминга «вживую» и вручную рассчитаем контрольную сумму 4-битного символа «0101». После резервирования «квартир» для контрольных битов (выделенных в тексте жирным шрифтом) наш символ будет выглядеть так: AB0C101D. Теперь остается только рассчитать значения битов A, B, C и D:

n  Бит A, контролирующий биты 3, 5 и 7 равен нулю, т.к. их сумма (0 + 1 + 1) четна.

n  Бит B, контролирующий биты 3, 6 и 7 равен одному, т.к. их сумма (0 + 0 + 1) нечетна.

n  Бит C, контролирующий биты 5, 6 и 7 равен нулю, т.к. их сумма (1 + 0 + 1) четна.

n  Бит D никакой роли не играет, т.к. он контролирует лишь те биты, которые расположены справа от него, а никаких битов справа от него уже и нет. И приведен он лишь затем, чтобы получить 8 бит – общепринятый байт.

Таким образом, «новоиспеченное» кодовое слово будет выглядеть так: «0100101», где жирным шрифтом выделены контрольные биты.

Листинг 6. Кодовое слово вместе с информационными битами.

AB0C101D

12345678

Допустим, при передаче наше слово было искажено в одной позиции и стало выглядеть так: 0100111. Сможем ли мы обнаружить такую ошибку? А вот сейчас и проверим! Так, бит A должен быть равен: (0 + 1 + 1) % 2 = 0, что соответствует истине. Бит B должен быть равен (0 + 1 + 1) % 2 = 0, а в нашем слове он равен единице. Запомним номер «неправильного» контрольного бита и продолжим. Бит C должен быть равен (1 + 1 + 1) % 2 = 1, а он равен нулю! Ага, значит, контрольные биты в позициях 2 (бит B) и 4 (бит C) обнаруживают расхождение с действительностью. Их сумма (2 + 4 = 6) и дает позицию сбойного бита. Действительно, в данном случае номер искаженного бита равен 6, инвертируем его, тем самым восстанавливая наше кодовое слово в исходный вид.

А что если искажение затронет не информационный, а контрольный бит? Проверка показывает, что позиция ошибки успешно обнаруживается и в этом случае, и контрольный бит при желании может быть легко восстановлен по методике, уже описанной выше (только есть ли в этом смысл? ведь контрольные биты все равно «выкусываются» в процессе декодирования кодового слова).

На первый взгляд кажется, что коды Хемминга жутко неэффективны, ведь на 4 информационных бита у нас приходится 3 контрольных, однако поскольку номера контрольных бит представляют собой степень двойки, то с ростом разрядности кодового слова они начинают располагаться все реже и реже. Так, ближайший к биту C контрольный бит D находится в позиции 8 (т.е. в трех шагах), зато контрольный бит E отделен от бита D уже на (2⁴ - 2³ - 1) = 7 «шагов», а контрольный бит F и вовсе на (2⁵ - 2⁴ - 1) = 15 «шагов».

Таким образом, с увеличением разрядности обрабатываемого блока, эффективность кодов Хемминга стремительно нарастает, что и показывает следующая программа: